大学数学（微分積分編④）

 

級数と一様収束とはどんな分野？

 

級数は基礎解析に含まれる分野で、微分・積分の次に学びます。

 

ただし微分を学習する前に基本的な級数の性質についてを学びます。

 

高校数学で数列の性質や総和を求める方法などが取り扱われますが、大学課程の基礎解析では数列の値や総和が発散するか、ある決まった値に近づくかどうかを判別する方法が取り扱われます。

 

学科によっては級数と一様収束を学んだ後にフーリエ級数が取り扱われることがありますが、これは応用解析の分野のひとつです。

 

数学科を除く理工系の学部課程で履修する数学は物理数学と呼ばれるもので、自然現象を解析したり何かの物を設計するための道具として利用します。

 

級数についても自然科学の分野などで必要とされる事項のひとつなので、専門分野に進むためにきちんと習得しておく必要があります。

 

学習する内容の特徴とは？

 

微積分の応用として級数(数列)を学びますが、数列は連続した関数ではないという特徴があります。

 

数列の発散または収束を判別する方法として、比較判定法やガウスの判定法を利用します。

 

判定法の次に収束条件についてを学習します。

 

級数の収束条件に関する事項は、最終的に連続関数を級数の総和として表現する際に用いられます。

 

例えばsinとかtan等の三角関数も、数列の総和(級数)に書き換えることが可能です。

 

数列や総和(級数)自体は四則演算で計算ができる形で表現されるので、人やコンピュータが三角関数や対数などの数値(近似値)を求めるために利用することができるようになります。

 

ちなみに関数電卓やパソコンの表計算ソフトなどを利用して数学関数の機能を利用して数値を算出する場合でも、級数展開して四則演算によって近似値が算出されています。

 

 

 

勉強方法のポイントとアドバイス

 

講義では多くの定理や判別条件などが取り扱われるので、各項目ごとに教科書に載せられている例題の内容をひとつずつ理解しながら学習を進めて行くことが学習のポイントです。

 

ただし級数の収束条件や関数を級数展開する方法については知識が必要ですが、定期試験や大学院の入学試験では問題を解くために複雑な計算をしなければなりません。

 

数学の講義では数式が多く、板書される定理などをノートに書き写すだけの“受け身型”の学習になってしまいがちです。

 

級数と一様収束も定理や判定条件が含まれるので知識も必要ですが、最終的に試験の時に自力で問題を解いて答えを得る事が求められます。

 

試験の直前に定理や例題に目を通しても試験問題を解けるようにはなりません。

 

そのため勉強をする際は受け身ではなくて能動的に学習を進めて行くことがポイントです。

 

能動的に勉強を進めるためには、教科書の練習問題を解きながらトレーニングを積むようにします。

 

可能であれば講義で学んだその日のうちに、教科書の練習問題を1つか2つ解くことで効率的に勉強をすることができます。

 

級数と一様収束の分野は微積分と同じように複雑な数式を扱うことが多く、階乗やべき乗を含む数式が出てきます。

 

例題や練習問題を解く際に丁寧に計算式を書くように心がけるようにして、ミスをしないように注意しましょう。

 

まとめ

 

級数と一様収束の内容は、理工系の学科であれば基礎解析に必ず含まれています。

 

3年次以降の専門課程や大学院に進学して研究を進める上で必要になる場合が多いので、学部課程の前半の間に確実にマスターしておくことが大切です。

 

級数の内容は計算式が多いので、数学の中でも退屈に感じてしまう分野のひとつです。

 

苦手意識を持たないようにするために、数学が得意でない方は簡単な例題や練習問題をこまめに解いてみると良いでしょう。