問題を解く時の基本！覚えておきたい数学の公式

 

数学はあらゆる科目で必要

 

理系の学部に進学すると、数学系の科目に限らず理科系の科目など、あらゆる場面で数学の能力が求められます。

 

数学は筋道立てて問題を解くことが大切ですが、問題を解くために必要な最低限の基礎は暗記しておかなければ、問題に手を付けることもできません。

 

特に大切なのが数学の各分野で出てくる公式です。

 

公式は解き方の手順を式の形にしたもので、数値を代入することで問題が解けるようになるものです。

 

理系の学部は基本的に大学受験時に数学は必須科目になっていると思いますが、中にはAO入試などで入学し、高校時代に学んだ数学も忘れてしまっているという人もいるでしょう。

 

そこで、今回は数学の基本、大学受験でも使うような数学の問題を解く時に必須の公式を挙げてみます。

 

数と式の分野

 

数と式の分野では、展開と因数分解の公式は必ず身につけておきましょう。

 

中学校の数学の時間に学習した式に、三次式の展開・因数分解の式が加わっています。

 

展開と因数分解は全く反対の操作なので、片方だけでなく両方を同時に覚えた方が覚えやすくなります。

 

展開の手順を忘れたときには、時間がかかっても分配法則で計算できるのですが、因数分解の式を忘れてしまったら、問題の解く手がかりはなくなってしまいます。

 

重点的に理解しておきたいものです。

 

因数分解は方程式を解いたり、微分積分の分野で極大や極小を求めるときにも必要になります。

 

あわせて、二次方程式の解の公式も中学校で学習していますので、思い出しておきましょう。

 

複素数の絶対値やベクトルの長さを求める式は、中学校で学んだ三平方の定理の応用です。

 

関連して覚えることができます。

 

図形の分野

 

図形の分野で最も重要なものは三角関数に関する公式です。

 

サイン、コサイン、タンジェントの相互関係をあらわすものや加法定理の公式などがあります。

 

単位円を使った三角関数の性質と合わせて理解しておきたいものです。

 

またそれらを応用した2倍角、半角、三角関数の合成といった公式も大切です。

 

これらも忘れてしまったら自分で導き出すことは困難なので、同じような式が多くて混乱しそうになりますが、しっかりと暗記しておきましょう。

 

 

 

数列の分野

数列の分野では、等差数列と等比数列のそれぞれについて一般項を求める公式と数列の和を求める公式があります。

 

これに加えて、累乗でできる数列の和を求める公式も必須です。

 

数列の問題は複雑に見えますが、数列の規則性を見いだし、これらの式が使える形に分割することで解ける場合が多いものです。

 

関数の分野

 

関数の分野では、二次曲線の式が必要になります。

 

中学校で学んだ二次関数の軸や頂点を求める式が基本になりますが、その発展として代表的な二次曲線である円の式や放物線、双曲線、楕円をあらわす式があります。

 

これらもよく似ている公式なのでまとめて整理をしておいた方が良いと思われます。

 

関数の分野の中で最も重要なものが微分積分に関する公式です。

 

多項式であらわされる整式の微分積分の式が基本になりますが、それを組み合わせた積の微分、商の微分、合成関数の微分などがその応用として公式になっています。

 

微分と積分はそれぞれが反対の操作ですから、微分の公式の逆が積分の公式になるのは共通です。

 

微分の公式と積分の公式を関連付けて考えることで、より理解が深まります。

 

三角関数や指数関数、対数関数に関する微分積分の公式は、最初はとっつきにくく見えるのですが、どの公式もそれぞれの規則に従って成り立っています。

 

丸暗記よりもなぜそうなるのかの理論を理解して覚えることが定着につながります。

 

面倒に思えるかもしれませんが、覚える際に自分なりに一度、教科書や参考書を見ながらでも良いので式の導き出し方をやっておくとよいでしょう。

 

まとめ

 

ここに挙げたように、大学受験でも使うような、基本になる数学の公式は沢山あります。

 

短期間で暗記したり、それを使って解く練習をすること、その使い方を身につけることは難しいものです。

 

特に数学という科目の場合は、時間をかけて公式を身につけ問題の解き方に慣れていく必要があります。

 

しかし、理論を理解した上で問題演習を繰り返していくと、きちんと実力はついてくるでしょう。