大学数学の「群論」について学ぶ

 

大学で学ぶ数学には様々な分野があります。その中の1つが「群論」です。

 

今日は、大学数学の群論とは何か？というテーマについて詳しく解説します。

 

大学生は、ぜひ参考にしてください。

 

【大学数学の群論とはどんな分野？】

それでは、まず最初に大学数学の群論とはどのような分野なのかについて解説します。

 

群論というのは、一言で説明すると「群」について研究する学問です。（群については後述します）

 

群論は、

 

・数論

・代数方程式論

・幾何学

 

という3つの分野を起源としており、18世紀後半頃からその研究は始まったといわれています。

 

群は抽象代数学において中心的な概念になっているため、群論を学ぶことで数学の多くの分野で応用することが可能になります。

 

≪「群」とは一体何なのか≫

 

それでは、次に、群論の「群」とは一体何なのかについて紹介します。

 

数学における群というのは、簡単に説明すると「二つのものを合体させて新しいものを作ることができるものの集まり」という具合で、合体させる前のものを「元」といいます。

 

しかし、これだけではよくわからない人も多いと思うので、もう少しわかりやすく説明するには身近にある食材で例えてみます。

 

食材というのは、複数の食材同士を組み合わせることで様々な料理や食べ物を作ることができます。例えば、スーパーでいつも売られている「卵」と私たちがいつも食べている「ご飯」を組み合わせると、日本人が大好きな「卵かけご飯」になります。

 

その他にも、「卵」と「ベーコン」を組み合わせれば「ベーコンエッグ」を作ることができます。

 

群というのは、このような考え方にとても似ています。

 

次は、食材や料理でなく、数学に置き換えて例えてみましょう。

 

「4」という元と「3」という元を足し算すると「7」という群になります。単純な話ではありますが、こうしたものも群と呼ぶことができ、この場合は足し算によって成立する群なので「加法群」といいます。

 

また、「2」という元と「3」という元を掛け算することで「6」という群になり、この場合は掛け算による群になので「乗法群」と呼ばれます。

 

こうした明確な数字を用いた群は比較的理解しやすいですが、群の中には、

 

・行列群

・変換群

・抽象群

 

など様々な種類があり、抽象的な考え方が必要になるものがあるのもポイントです。

 

≪単位元と逆元≫

 

 

群というのは、ここまで紹介したように、他の異なる元同士を組み合わせることで新しいものを作り出すというものですが、その中には特殊な元も存在します。

 

例えば、他の元と組み合わせても結果が変わらない元である「単位元」というものがあり、

 

先に紹介した加法群を例にして例えると、「8」という元に「0」という元を足しても結果は「8」のまま。そのため、この例でいう「0」は単位元といえます。

 

また、乗法群を例にして例えると「1」という数字がそれに当てはまり、どんな数字が相手でも、「1」をかけると結果はそのままです。

 

その他、単位元の他に「逆元」というも特殊な元も存在し、逆元というのは簡単にいうと「相手の元と組み合わせることで単位元となる元」のことです。

 

再び加法群を使って例えてみましょう。

 

例えば、「2」という元と「－2」という元を足し算すると「0」になります。

 

「0」というのは先にも紹介した通り、加法群において単位元になります。そのため、この例では「－2は2の逆元」ということになります。

 

また、「6」という元と「－6」という元を組み合わせるとこれも結果は「0」になり、つまり「－6は6の逆元」ということがわかります。

 

この他にも、群論を学ぶ上で覚えておくべき法則や用語は多々あります。

 

【まとめ】

いかがでしたか？今日は、大学数学の群論についてでした。

 

群論は、抽象的な考え方が必要になるので苦手意識を持つ学生も多いですが、反面群論を学ぶ上で覚えていることが前提になる知識自体はあまりなく、中学程度の数学の知識でも入っていくことが可能です。

 

群論は様々な数学分野に応用することができるので、ぜひあなたもマスターしてみてください！